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Expert-verified Found in: Page 631 ### Calculus

Book edition 1st
Author(s) Peter Kohn, Laura Taalman
Pages 1155 pages
ISBN 9781429241861 # Let 0 < p < 1. Evaluate the limit $\underset{k\to \infty }{\mathrm{lim}}\frac{1/k\mathrm{ln}k}{1/{k}^{p}}$ Explain why we cannot use a p-series with 0 < p < 1 in a limit comparison test to verify the divergence of the series $\sum _{k=2}^{\infty }\frac{1}{k\mathrm{log}k}$

$\mathrm{The}\mathrm{p}-\mathrm{series}\mathrm{is}\mathrm{divergent}\mathrm{for}0<\mathrm{p}<1.\mathrm{The}\mathrm{limit}\mathrm{comparison}\mathrm{test}\mathrm{if}\mathrm{the}\mathrm{ratio}\mathrm{is}\mathrm{zero}\mathrm{states}\mathrm{that}\mathrm{if}\phantom{\rule{0ex}{0ex}}\underset{\mathrm{k}\to \infty }{\mathrm{lim}}\frac{{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}}{{\mathrm{b}}_{\mathrm{k}}}\mathrm{and}\sum _{\mathrm{k}=1}^{\infty }{\mathrm{b}}_{\mathrm{k}}\mathrm{converges},\mathrm{then}\sum _{\mathrm{k}=1}^{\infty }{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\mathrm{converges}\phantom{\rule{0ex}{0ex}}\mathrm{The}\mathrm{limit}\mathrm{comparison}\mathrm{test}\mathrm{fails}\mathrm{to}\mathrm{give}\mathrm{any}\mathrm{information}\mathrm{about}\mathrm{the}\mathrm{divergence}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{series}\phantom{\rule{0ex}{0ex}}\sum _{\mathrm{k}=2}^{\infty }\frac{1}{\mathrm{k}\mathrm{lnk}}$

See the step by step solution

## Step 1. Given

$\sum _{k=2}^{\infty }\frac{1}{k\mathrm{log}k}$

## Step 3. Limit comparison test

$\mathrm{The}\mathrm{limit}\mathrm{comparison}\mathrm{test}\mathrm{states}\mathrm{that}\mathrm{for}\mathrm{and}\mathrm{be}\mathrm{two}\mathrm{series}\mathrm{with}\mathrm{positive}\mathrm{terms}\mathrm{then}\phantom{\rule{0ex}{0ex}}\mathrm{If}\underset{\mathrm{k}\to \infty }{\mathrm{lim}}\frac{{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}}{{\mathrm{b}}_{\mathrm{k}}}=\mathrm{L}\mathrm{Where}\mathrm{L}\mathrm{is}\mathrm{any}\mathrm{positive}\mathrm{real}\mathrm{number}\mathrm{then}\mathrm{either}\mathrm{both}\mathrm{converges}\mathrm{or}\mathrm{diverges}.\phantom{\rule{0ex}{0ex}}\mathrm{If}\underset{\mathrm{k}\to \infty }{\mathrm{lim}}\frac{{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}}{{\mathrm{b}}_{\mathrm{k}}}=0\mathrm{and}\sum _{\mathrm{k}=1}^{\infty }{\mathrm{b}}_{\mathrm{k}}\mathrm{converges}\mathrm{then}\sum _{\mathrm{k}=1}^{\infty }{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\mathrm{converges}.\phantom{\rule{0ex}{0ex}}\mathrm{If}\underset{\mathrm{k}\to \infty }{\mathrm{lim}}\frac{{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}}{{\mathrm{b}}_{\mathrm{k}}}=\infty \mathrm{and}\sum _{\mathrm{k}=1}^{\infty }{\mathrm{b}}_{\mathrm{k}}\mathrm{diverges}\mathrm{then}\sum _{\mathrm{k}=1}^{\infty }{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\mathrm{diverges}.\phantom{\rule{0ex}{0ex}}$

## Step 4. Result

$\mathrm{The}\mathrm{value}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{expression}\mathrm{is}\underset{\mathrm{k}\to \infty }{\mathrm{lim}}\frac{1/\mathrm{k}\mathrm{lnk}}{1/{\mathrm{k}}^{\mathrm{p}}}=0\phantom{\rule{0ex}{0ex}}\mathrm{The}\mathrm{p}-\mathrm{series}\mathrm{is}\mathrm{divergent}\mathrm{for}0<\mathrm{p}<1.\mathrm{The}\mathrm{limit}\mathrm{comparison}\mathrm{test}\mathrm{if}\mathrm{the}\mathrm{ratio}\mathrm{is}\mathrm{zero}\mathrm{states}\mathrm{that}\mathrm{if}\phantom{\rule{0ex}{0ex}}\underset{\mathrm{k}\to \infty }{\mathrm{lim}}\frac{{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}}{{\mathrm{b}}_{\mathrm{k}}}\mathrm{and}\sum _{\mathrm{k}=1}^{\infty }{\mathrm{b}}_{\mathrm{k}}\mathrm{converges},\mathrm{then}\sum _{\mathrm{k}=1}^{\infty }{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\mathrm{converges}\phantom{\rule{0ex}{0ex}}\mathrm{The}\mathrm{limit}\mathrm{comparison}\mathrm{test}\mathrm{fails}\mathrm{to}\mathrm{give}\mathrm{any}\mathrm{information}\mathrm{about}\mathrm{the}\mathrm{divergence}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{series}\phantom{\rule{0ex}{0ex}}\sum _{\mathrm{k}=2}^{\infty }\frac{1}{\mathrm{k}\mathrm{lnk}}$ ### Want to see more solutions like these? 